1 电池剩余放电时间预测 摘要 本文是关于电池剩余放电时间的预测问题。根据题目所给的附件，分别考虑 不同电流对应的放电曲线，我们首先通过最小二乘法建立不同电流放电曲线的指 数函数模型，然后利用 MATLAB 计算出各放电曲线的平均相对误差（ MRE ）， 最后预测了衰减状态 3 的剩余放电时间。 针对问题一：首先，通过在 MATLAB 中做电压差的图形可以看出，其趋势 基本上是开始变化较慢，而到了某个阶段突然变化加快，这符合指数函数模型， 即  dt dut c aebt  。对其求积分即可得到电压和时间的关系为 d ct e b a u bt t    ，利用最小二 乘法求出各系数，得到 20A、30A 等电流时电压和时间关系。利用求得关系式， 把电压带入即可得到各电压对应的时间，然后利用 t 0 t R R R RE   ， 231 231 1   i i RE MRE 计算各电 流强度的 MRE 分别为：（0.0601、0.0508、 0.0367、0.0338、0.0631、0.0069、 0.0773、0.0063、0.0050）。把电压等于 9.8V 时带入模型可求得 30A、40A、50A、 60A 和 70A 对应的剩余放电时间：（1918.1226min、1224.3761min、929.2559min、 739.6344min、615.8148min）。 针对问题二：首先，对问题 1 中的不同电流对应的参数进行分析，发现参数 与电流的关系在 20A 到 50A 之间符合二次函数模型 r hI gI I f    2 ) ( ，在 50A 到 100A 之间符合一次函数模型 r hI I f   ) ( ，进一步根据最小二乘法，利用 MATLAB 计算出各参数的值，建立了各参数和电流之间的关系式。这样建立了电压和电流 强度及放电时间之间的关系 ) ( ) ( ) ( ) ( I d t I c e I a u t I b t    。通过计算不同电流下模 型对应的 MRE 值，可以看出求出的 MRE 值与问题 1 种求出的 MRE 值变化率不 超过 5.71%。最后，根据模型拟合出电流强度为 55A 时的放电曲线，通过图 3 可 以看出 55A 的放电曲线落在 50A 和 60A 的放电曲线之间，符合实际情况。 针对问题三：我们首先对新电池、衰减状态 1 和衰减状态 2 的数据进行回归 分析，发现新电池、衰减状态 1 和衰减状态 2 的电压和时间之间的关系都为指数 函数关系 qt nt t ke me u   ，据此我们推断衰减状态 3 的电压和时间之间的关系也 应为指数函数关系。利用已有衰减状态 3 的部分数据，利用 MATLAB 拟合出衰减 状态 3 电压和时间之间的关系为 t t t e e u 5157 .0 6752 .0 6571 354 . 82    ，根据此模型可以 算出衰减状态 3 的剩余放电时间。 最后，我们随机给定了一些电压，利用模型算出的时间与附件 1 和 2 给定的 时间进行比较，发现两者之间的时间差都小于 8 分钟，可以看出给出的模型是有 效的，和实际情况吻合度较高。 关键词： MATLAB 最小二乘法 曲线拟合 指数函数 2 一、问题重述 在铅酸电池以恒定电流强度放电过程中，电压随放电时间单调下降，直到额 定的最低保护电压（ m U ，本题中为 9V）。从充满电开始放电，电压随时间变化 的关系称为放电曲线。 问题 1 附件 1 是同一生产批次电池出厂时以不同电流强度放电测试的完整 放电曲线的采样数据。 1.根据附件 1 用初等函数表示各放电曲线，并分别给出各放电曲线的平均相 对误差（ MRE ，定义见附件 1）。 2.分别以 30A、40A、50A、60A 和 70A 电流强度放电，测得电压都为 9.8 伏时，根据建立的模型，计算出电池的剩余放电时间。 问题 2 1.建立以 20A 到 100A 之间任意恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模 型，并用 MRE 评估模型的精度。 2.用表格和图形给出电流强度为 55A 时的放电曲线。 问题 3 附件 2 是同一电池在不同衰减状态下以同一电流强度从充满电开始 放电的记录数据。试预测附件 2 中电池衰减状态 3 的剩余放电时间。 二、问题分析 2.1 对问题的总分析 本题是关于电池剩余放电时间预测的典型问题，根据附件给定的数据、数学 建模知识、资料书籍的辅助和 MATLAB [1]的软件的计算和图形的绘制来解决问 题，通过建模的假设、建立与求解算出关于电池放电曲线的初等函数以及平均相 对误差（ MRE ）。求任意恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型，需要对 问题 1 的数据进行综合分析和对比，然后建立电压与时间和电流强度之间的关 系，得到问题二的模型。通过前面几种情况得到的相应的模型，根据附件 2 中衰 减状态 3 已给的数据，调整模型参数，从而得到最佳拟合效果，这样建立的模型 就可以直接用来预测。 2.2 对问题的具体分析 2.2.1 对问题一的分析 问题要求通过附件 1 的数据用初等函数表示各放电曲线，分别给出各放电 曲线的平均相对误差（ MRE ），对获得的模型以 30A、40A 和 50A 等电流强度 放电，当电压为 9.8V 时，求电池剩余放电时间。 对于这个问题可以先对已知数据用 MATLAB 软件绘制图形（程序见附录 1）， 3 如图 1 所示： 图 1 各电流强度的电压随放电时间变化图像 由图 1 可知，在刚开始放电的时候，电压会极速下降，之后随时间的增长电 压会上升，最后电压随放电时间单调下降，直到额定的最低保护电压（ m U ）9V。 这是因为在放电初期发生了化学变化，化学方程式如下： 4 2 4 2 2 2 2 2 PbSO O H SO H PbO Pb     当电流始终不变时，电池随时间的变化而不断放电，此时，正极板上的二氧 化铅与硫酸反应生成水，极板微孔内电解液浓度迅速下降，端电压随之迅速下降。 到了所有的酸已准备就绪后，电压也就稳定了。 由于放电初期发生的时间极短，而电池放电的整个过程非常长，因此我们忽 略此过程，从电压稳定后开始考虑放电过程，认为电池放电过程是电压随时间的 增长而下降的过程。 2.2.2 对问题二的分析 问题要求建立以 20A 到 100A 之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数 学模型，并用 MRE 评估模型的精度，最后用表格和图形给出电流强度为 55A 时 的放电曲线。 对于这个问题，我们需要对问题 1 的模型进行综合分析和对比，然后将这些 模型统一整理，得到一个关于电流、电压和时间的函数模型。 2.2.3 对问题三的分析 问题要求预测附件 2 中电池衰减状态 3 的剩余放电时间。 对于这个问题，可以先对已知数据用 MATLAB 软件绘制图形，如图 2 所示： 4 图 2 不同状态下电池的放电曲线 由图 2 可知，新电池状态、衰减状态 1 和衰减状态 2 的放电曲线基本类似， 由此推测衰减状态 3 的放电曲线与此曲线相差不大，曲线符合指数函数模型。为 了验证模型的合理性，我们用 MATLAB 进行拟合，和方差（SSE)近似为 0。所以， 我们在此基础上建立关于衰状态 3 的指数函数模型，从而预测出电池衰减状态 3 的剩余放电时间。 三、模型的假设 1.假设题目中所给的数据真实可靠； 2.所有程序中由于计算机运行带来的误差可忽略不计； 3.假设忽略温度等物理因素对电池的影响； 4.假设忽略掉的放电过程对模型的影响很小，可以忽略不计； 5.假设提取的电压样本点全都符合标准。 四、符号说明 符号 符号说明 tu t 时刻对应的电压 t 放电时间 RE 相对误差 MRE 平均相对误差 tR 模型已放电时间 0 R 采样已放电时间 I 电流强度 5 五、模型的建立与求解 5.1 问题 1 的求解 根据题目要求，用附件 1 的采样数据得初等函数表示各放电曲线，并分别 给出各放电曲线的平均相对误差（ MRE ）。并分别以 30A、40A、50A、60A 和 70A 电流强度放电，测得电压都为 9.8V 时，根据所建立的模型，得到电池剩余 放电时间。 5.1.1 数据分析 1.根据问题分析，对电压极速下降阶段的数据不予考虑。 2.通过对附件 1 数据得观察，得到电压随放电时间的增长而减小。 5.1.2 数据准备 根据题目要求，我们需要确定不同电流强度的电压差，所以我们用 MATLAB 做出电压差图形，通过观察其基本上是一开始变化较慢，而到了某个阶段突然变 化加快（见附录 2），此直线符合初等函数中的指数函数，因此为模型的建立做 数据上的准备。 5.1.3 电压随时间变化的模型 1.模型的准备 对于电池剩余放电时间进行预测，我们首先需要找到合理的，符合实际的模 型来表示电压随时间的变化，进而才能够较为准确的得到电压为 9.8V 时，电池 的剩余放电时间，为此，通过采样数据的放电曲线我们得到电压的变化率，符合 指数函数，即：  dt dut c aebt  （1） 两边求积分得到电压与时间的关系式： d ct e b a u bt t    （2） 式（2）为一个指数函数模型，为确定此模型的准确性，我们用 MATLAB 对 模型进行拟合得到的曲线与附件 1 中数据拟合的曲线进行对比，结果显示，两条 曲线基本吻合，因此也确定了模型的合理性。 2.模型的建立 电压随时间变化的模型： d ct Le u bt t    ( b a L  ) 其中 tu 为电压，t 为放电时间， L 、b 、c 、d 为常数 6 （1）当电流为 20A 时 我们首先用最小二乘法[2]求解 L 、b 、c 、 d ，令    n i id D 0 2 2 0 0 2 ] [ d ct Le u d i bt ti n i n i i i          D 对 L 、b 、c 和 d 分别求一阶偏导数为:                n i i n i bt n i t bt n i nd t c e L u e L D i i i 0 0 0 0 ] [ 2                n i n i n i i bt t bt i n i nd t c e L u e t b D i i i 0 0 0 0 ] [ 2 ] [ 2 0 0 0 0 nd t c e u t c D n i i n i bt n i t n i i i i                ] [2 0 0 0 nd t c e L u d D n i i n i bt n i t i i              其中 n =3764 令一阶偏导数为零： 0 ] [ 2 0 0 0 0                 n i i n i bt n i t bt n i nd t c e L u e L D i i i ； 0 ] [ 2 0 0 0 0                 n i n i n i i bt t bt i n i nd t c e L u e t b D i i i ； 0 ] [ 2 0 0 0 0                 nd t c e u t c D n i i n i bt n i t n i i i i ； 0 ] [2 0 0 0               nd t c e L u d D n i i n i bt n i t i i ； 解得：  L -558.4145 b =-1.6208×10 -4 0091 0.   c  d 568.9807 所以原函数为 : 9807 . 568 0091 .0 4145 . 558 4 - 10 × -1.6208     t e u t t （3） 7 （2）当电流为 30A、40A、50A、60A、70A、80A、90A 和 100A 时，函数分别为： 1241 . 604 0134 .0 5418 . 593 -5 10 -2.2362      t e u t t （4） 4213 . 625 0205 .0 8849 . 614 -5 10 -3.302      t e u t t （5） 5331 . 622 0266 .0 0417 . 612 -5 10 -4.3097      t e u t t （6） 8399 .9 0011 .0 10 73 .7 -9 10 -3.7816 4        t e u t t （7） 4661 . 10 10 6341 .9 10 3898 .4 4 0.0083t 4         t e ut （8） 6472 .9 0016 .0 10 75 .8 -8 10 -1.4310 4        t e u t t （9） 3976 . 10 0013 .0 10 5786 .6 0.0109 4       t e u t t （10） 3691 . 10 0015 .0 10 6904 .5 0.0127 4       t e u t t （11） （3）求放电曲线的平均相对误差（ MRE ) 根据公式 [3]得：相对误差 t 0 t R R R RE   ,其中 tR 为模型已放电时间， 0 R 为采样 已放电时间；平均相对误差 231 231 1   i i RE MRE 。 利用 MATLAB 编程（见附录 3），可求出每个电流强度的平均相对误差，如 表一： 表 1：不同电流强度放电曲线的平均相对误差 I 20A 30A 40A 50A 60A 70A 80A 90A 100A MRE 0.0601 0.0508 0.0367 0.0338 0.0631 0.0069 0.0773 0.0063 0.0050 （4）当电流分别为 30A、40A、50A、60A 和 70A，电压都为 9.8V 时，电池的 剩余放电时间。 根据题目要求，把 8.9  tu 分别带入（4）-（8）式，得到 9.8V 时对应的放 电时间，用最长放电时间减去 9.8V 对应的放电时间，可得剩余放电时间，如表 2： 表 2：不同电流强度下的剩余放电时间 电流强度 30A 40A 50A 60A 70A 9.8V 电压对应 的放电时间 1918.1226 1224.3761 929.2559 739.6344 615.8148 剩余放电时间 535.8774 499.6239 378.7441 304.3656 246.1852 8 5.2 问题 2 的求解 5.2.1 数据处理 首先对问题 1 的模型进行综合分析和对比，对其参数进行线性回归得到关于 电流的方程，将此方程带入问题 1 的指数函数模型中，得到一个关于电压、电流 与时间的函数，即为任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型 [4]。 5.2.2 模型准备 对电压随时间变化模型的参数进行拟合，参数在 50A 开始左右分为两段有规 律的线段，因此需要把这两段分别建模。从图形可以看出，当 A I A 50 20   时， 电流和各参数之间满足二次多项式，当 A I A 100 50   时，电流和各参数之间满 足直线方程。 图 3. 电流强度与各系数的散点图 当 A I A 50 20   时，设参数方程为 r hI gI I f    2 ) ( ，通过最小二乘法拟合 得到的各个参数方程分别为： 5. 426 467 .8 09493 .0 2    I I L 4 5 2 7 10 957 .5 10 947 .2 10 714 .3           I I b 00149 .0 10 81 .2 10 5.4 4 2 6         I I c 437 475 .8 09508 .0 2     I I d 当 A I A 100 50   时，设参数方程为 r hI I f   ) ( ，通过最小二乘法拟合得到 的各个参数方程分别为： 4 6 10 141 .8 10 891 .1       I L 01602 .0 00028 .0   I b 001543 .0 10 063 .3 5      I c 352 .9 009899 .0   I d 5.2.3 模型的建立 将上述参数方程带入问题 1 的模型中得到： 9 当 A I A 50 20   时： 437 8475 09508 .0 ) 00149 .0 10 81 .2 10 5.4 ( ) 5. 426 467 .8 09493 .0 ( 2 4 2 6 ) 10 5.957 I 10 2.947 - I 10 (3.714 2 -4 -50 2 -7                   I I t I I e I I u t t 当 A I A 100 50   时 ) 352 .9 009899 .0 ( ) 001543 .0 10 063 .3 ( ) 10 141 .8 10 891 .1( 5 0.01602) -I 10 (2.8 4 6 -4               I t I e I u t t 放电曲线的平均相对误差（ MRE ）见表 3。 通过计算不同电流下模型对应的 MRE 值，可以看出求出的 MRE 值与问题 1 种求出的 MRE 值变化率不超过 5.71%。 当电流为 55A 时，用 MALTAB 求解的电压值，对电压值列表并绘图，由于列 表数据庞大，我们只列出放电时间从 0min 到 100min 的数据，见表 4（其它数据 见附录 4）。 表 3：不同电流强度放电曲线的平均相对误差 表 4：电流为 55A 时对应的电压值 放电时 间 （min） 电压（v） 放电时 间（min） 电压（v） 放电时 间（min） 电压（v） 放电时 间 （min） 电压（v） 放电时 间（min） 电压（v） 0 11.0932 20 10.4832 40 10.4886 60 10.4832 80 10.4722 2 10.5368 22 10.4858 42 10.4883 62 10.4807 82 10.4715 4 10.4507 24 10.4875 44 10.4882 64 10.4800 84 10.4700 6 10.4407 26 10.4886 46 10.4893 66 10.4800 86 10.4693 8 10.4489 28 10.4882 48 10.4879 68 10.4782 88 10.4668 10 10.4583 30 10.4889 50 10.4865 70 10.4768 90 10.4657 12 10.4668 32 10.4897 52 10.4850 72 10.4765 92 10.4650 14 10.4729 34 10.4897 54 10.4854 74 10.4747 94 10.4639 16 10.4754 36 10.4890 56 10.4847 76 10.4743 96 10.4629 18 10.4804 38 10.4897 58 10.4836 78 10.4729 98 10.4611 100 10.4603 I（A） 20A 30A 40A 50A 60A 70A 80A 90A 100A 二题 MRE 0.0583 0.0524 0.0385 0.0352 0.0654 0.0073 0.0804 0.0064 0.0052 一题 MRE 0.0601 0.0508 0.0367 0.0338 0.0631 0.0069 0.0773 0.0063 0.0050 比值 3.33% 3.99% 5.71% 4.13% 3.06% 5.14% 3.75% 1.76% 3.94% 10 对电流 20A、30A、40A、50A、55A、60A、70A、80A、90A 和 100A 的放电曲 线进行绘图，得到图 4： 图 4 不同电流对应的的放电曲线 5.3 问题 3 的求解 5.3.1 数据处理 通过 2.2.3 的分析可以看出，时间与电压之间满足指数方程。首先对新电池、 衰减状态 1 和衰减状态 2 的数据进行回归分析，得到的各折线图基本类似（见附 录 5），然后对新电池、衰减状态 1 和衰减状态 2 的数据数据进行回归分析，我 们初步就得到相应的模型 [5]，然后根据衰减状态 3 已给的数据，调整模型参数， 使得拟合效果好一点，这样模型就可以直接用来预测。 5.3.2 模型准备 对新电池数据进行回归分析得： tu = -2.51×104e0.6387 t + 2.513×104e0.6386 t 对衰减状态 1 数据进行回归分析得： tu =4980e 0.6268 t -4952e 0.6273 t ，SSE=0.015 对衰减状态 2 数据进行回归分析得： tu = -6.702e 0.6967 t + 39.67e 0.5261 t ，SSE=0.02 5.3.3 模型的建立 由新电池、衰减状态 1 和衰减状态 2 以及新电池、衰减状态 1、衰减状态 2 和衰弱状态 3 的折线图得，衰减状态 2 的放电时间与电压的表达式为： qt nt t ke me u   11 其中 p k n m 、 、 、 为常数。 此模型是以 p k n m 、 、 、 为参数的线性回归模型。因此，我们可以使用最小 二 乘 法 ， 运 用 M A T L A B 编 程 进 行 多 元 线 性 拟 合 得 ： 5157 .0 , 6571 , 3752 , 354 . 82       q k n m 。 t t t e e u 5157 .0 6752 .0 6571 354 . 82    然后借助数学软件 MATLAB（程序见附录 6）拟合出衰减状态 3 的剩余放电 时间，如图 4 所示： 图 4 电池衰弱状态 3 的剩余放电时间 由图 4 可知，根据建立的模型借助 MATLAB 拟合出的剩余放电时间的曲线 与其他三种状态的趋势基本一致。由此说明，此模型的准确性较高，预测的曲线 较为精准。 利用模型可得电池衰减状态 3 的剩余放电时间,如表 5。 表 5 电池衰减状态 3 的剩余时间 电压（V） 剩余放电时间 （min） 电压（V） 剩余放电时间 （min） 电压（V） 剩余放电时间 （min） 9.76 230.3 9.505 112.6 9.25 41.5 9.755 232.1 9.5 113.2 9.245 39.1 9.75 224 9.495 112.1 9.24 38.8 9.745 226.1 9.49 110.7 9.235 36.9 9.74 220.5 9.485 109 9.23 36 12 9.735 220.1 9.48 102.1 9.225 35.8 9.73 216.3 9.475 101.8 9.22 34.7 9.725 215.8 9.47 103.8 9.215 36.3 9.72 215.6 9.465 101.1 9.21 35.7 9.715 204.4 9.46 100.7 9.205 33.5 9.71 207 9.455 100.6 9.2 29.4 9.705 199.2 9.45 94.4 9.195 30.2 9.7 199.7 9.445 92.3 9.19 27 9.695 200.1 9.44 90.4 9.185 25.6 9.69 192.7 9.435 90.4 9.18 26.6 9.685 191.3 9.43 87.2 9.175 26.9 9.68 185.3 9.425 83.4 9.17 28.5 9.675 189 9.42 85.1 9.165 27.9 9.67 186.4 9.415 84.7 9.16 24.6 9.665 179.9 9.41 85.1 9.155 21.6 9.66 183.7 9.405 83.3 9.15 21.9 9.655 178.2 9.4 81.5 9.145 19.4 9.65 173.3 9.395 80.8 9.14 20.4 9.645 173.4 9.39 76.9 9.135 20.2 9.64 169.5 9.385 71.7 9.13 20.3 9.635 170.1 9.38 71 9.125 20.8 9.63 165.8 9.375 70.2 9.12 16.3 9.625 162.8 9.37 71.4 9.115 14.9 9.62 158 9.365 73.6 9.11 15 9.615 159.6 9.36 69.9 9.105 14.1 9.61 160.8 9.355 69.8 9.1 14.9 9.605 156.3 9.35 68 9.095 15.1 9.6 150 9.345 67.9 9.09 15.5 9.595 152.1 9.34 62.4 9.085 15.6 9.59 151.3 9.335 62 9.08 12.6 9.585 147.4 9.33 61.3 9.075 11.8 9.58 144.5 9.325 57.8 9.07 12.2 13 9.575 141 9.32 53.7 9.065 9.7 9.57 141.9 9.315 57.2 9.06 9.3 9.565 139.7 9.31 58 9.055 9.5 9.56 133.8 9.305 56.5 9.05 9.8 9.555 134.6 9.3 55.8 9.045 9.3 9.55 133.4 9.295 51.1 9.04 7.6 9.545 124.7 9.29 52.6 9.035 5.5 9.54 126.7 9.285 50.8 9.03 6.4 9.535 126.9 9.28 45 9.025 6.3 9.53 123 9.275 46.3 9.02 5.8 9.525 121 9.27 45.3 9.015 5.2 9.52 118.1 9.265 45.4 9.01 3.1 9.515 120.8 9.26 45.8 9.005 2.6 9.51 113.1 9.255 43.9 9.000 0 六、模型的检验 6.1 对电压随时间变化的模型的检验 在附件 1 中对不同的电流强度随机选取 5 个电压数据作为样本，然后带 入模型求解 ，解得的时间与附件 1 所对应的时间，如果差距不大，则证明模型 的准确性。（样本时间-计算时间=差值） 表 6 当电流强度为 20A 时 样本时间（min） 50 854 1506 2684 3530 计算时间（min） 52.6 859 1509 2679 3526 差值（min） -2.6 -5 -3 5 4 结果表明，最大时间差为 5 分钟，所以此模型较为准确。 表 7 当电流强度为 30A 时 样本时间（min） 54 558 1266 1982 2440 计算时间（min） 56 562 1270 1980 2437 差值（min） -2 -4 -4 2 3 结果表明，最大时间差为 4 分钟，所以此模型较为准确。 表 8 当电流强度为 40A 时 样本时间（min） 44 466 924 1302 1722 计算时间（min） 45 469 925 1310 1726 14 差值（min） -1 -3 -1 -8 -4 结果表明，最大时间差为 8 分钟，所以此模型较为准确。 表 9 当电流强度为 50A 时 样本时间（min） 48 762 1066 1304 计算时间（min） 50 768 1067 1307 差值（min） -2 -6 -1 -3 结果表明，最大时间差为 6 分钟，所以此模型较为准确。 表 10 当电流强度为 60A 时 样本时间（min） 52 288 560 778 1040 计算时间（min） 53 290 563 780 1035 差值（min） -1 -2 -3 -2 5 结果表明，最大时间差为 5 分钟，所以此模型较为准确。 表 11 当电力强度为 70A 时 样本时间（min） 32 216 422 650 860 计算时间（min） 30 220 420 657 857 差值（min） 2 -4 2 -7 3 结果表明，最大时间差为 7 分钟，所以此模型较为准确。 表 12 当电流强度为 80A 时 样本时间（min） 34 186 378 546 726 计算时间（min） 35 190 380 543 720 差值（min） -1 -4 -2 3 6 结果表明，最大时间差为 6 分钟，所以此模型较为准确。 表 13 当电流强度为 90A 时 样本时间（min） 24 146 324 508 616 计算时间（min） 28 154 318 510 615 差值（min） -4 -8 6 -2 1 结果表明，最大时间差为 8 分钟，所以此模型较为准确。 表 14 当电流强度为 100A 时 样本时间（min） 16 124 258 404 536 计算时间（min） 20 130 260 400 533 差值（min） -4 -6 -2 4 3 结果表明，最大时间差为 6 分钟，所以此模型较为准确。 6.2 电流强度为 55A 时的检验 在附件 1 中对电流强度为 55A 的数据随机选取 5 个电压数据作为样本，然后 15 带入模型求解。 表 15 当电流强度为 55A 时 样本时间（min） 16 28 48 72 98 计算时间（min） 15.6 30.2 46.7 69.8 96.3 差值（min） 0.4 -2.2 1.3 2.2 1.7 结果表明，最大时间差为 2.2 分钟，所以此模型较为准确。 6.3 剩余放电时间 在附件 2 中对衰减状态 3 随机选取 5 个电压数据作为样本，然后带入模型求 解 ，解得的时间与附件 2 所对应的时间，如果差距不大，则证明模型的准确性。 表 16 衰减状态 3 样本时间（min） 4.0 139.2 257.1 411.2 593.6 计算时间（min） 5.3 137.6 259.3 415.8 590.4 差值（min） -1.3 1.6 -2.2 -4.6 3.2 结果表明，最大时间差为 4.6 分钟，所以此模型较为准确。 七、模型的评价与推广 7.1 模型的优点 （1）利用最小二乘法来分析数据，更有说服力和理论性； （2）模型的建立层层递进，有层次感； （3）建立的模型准确性高； （4）所建立的模型变量较少，增加了模型的可读性； （5）模型简单易懂，具有很好的普及性； （6）模型的计算采用专业的数学软件，可信度较高。 7.2 模型的缺点 （1）受题中数据的约束，有小部分因素未能考虑； （2）模型利用指数函数进行预测，对参数 b 比较敏感，要求比较高。 7.3 模型的推广 该模型可用于预测电池的寿命。 八、参考文献 [1]飞思科技产品研发中心编著，MATLAB6.5 辅助优化计算与设计，北京：电子 工业出版社，2003。 [2]王惠文著，偏最小二乘回归方法及其应用，北京：国防工业出版社，2000。 [3] 相对误差计算公式， http://zhidao.baidu.com/link?url=L4ymUt2DrXKICbUMqHOQkt5R9s9lqmKKxaON w-RMUtVkDGrg8iK6N6Jt5sFCuqYvYZSaA7dOLFUTjqn8CvMUgK 16 2016.9.11。 [4]韩中庚编著，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005。 [5]白其峥主编，数学建模案例分析，北京：海洋出版社，2000。 九、附录 附录 1 图 1 的程序 data=xlsread('d:\123.xlsx'); X=data(:,1)'; X_20A=data(:,1)'; Y_20A=data(:,2)'; plot(X_20A,Y_20A,'r'); hold on %********************* Y_30A=data(:,3)' K=length(Y_30A); X_30A=X(1:K); plot(X_30A,Y_30A,'b'); %********************* Y_40A=data(:,4)' K=length(Y_40A); X_40A=X(1:K); plot(X_40A,Y_40A,'G'); %********************* Y_50A=data(:,5)' K=length(Y_50A); X_50A=X(1:K); plot(X_50A,Y_50A,'k'); %********************* Y_60A=data(:,6)' K=length(Y_60A); X_60A=X(1:K); plot(X_60A,Y_60A); %********************* Y_70A=data(:,7)' K=length(Y_70A); X_70A=X(1:K); 17 plot(X_70A,Y_70A); %********************* Y_80A=data(:,8)' K=length(Y_80A); X_80A=X(1:K); plot(X_80A,Y_80A); %********************* Y_90A=data(:,9)' K=length(Y_90A); X_90A=X(1:K); plot(X_90A,Y_90A); %********************* Y_100A=data(:,10)' K=length(Y_100A); X_100A=X(1:K); plot(X_100A,Y_100A); 附录 2 电压斜率随时间变化的折线图 20A 30A 40A 50A 18 60A 70A 80A 90A 100A 附录 3 求问题一中 MRE 的程序： clc;clear data=xlsread('d:\20.xlsx'); X=data(:,1)'; X_20A=data(:,1)'; xx=sort(X_20A,'descend'); Y_20A=data(:,2)'; y=sort(Y_20A); y=y(1:231); x=solve('-558.4145*exp(-0.000016208*x)-0.0091*x+568.9807-y=0','x')%变 成 x 的函数 x=eval(x)%计算 x 值 19 k=0; sum=0; for i=1:1:231 k=abs(x(i)-xx(i))/x(i); sum=sum+k; end mre=sum/231 附录 4 求问题 3 中 MRE 的程序 clc;clear % I=50; % fa=0.09493*I^2-8.467*I-426.5; % fb=-0.0000003714*I^2+0.00002947*I-0.0005957; % fc=-0.0000045*I^2-0.000281*I-0.00149; % fd=-0.09508*I^2+8.475*I+437; fb=-3.302*10^(-5) fc=-0.0205 it=100; fa=0.00001891*it-0.0008141; fb=0.00028*it-0.01602; fc=-0.00003063*it+0.001543; fd=0.009899*it+9.352; data=xlsread('d:\50.xlsx'); X=data(:,1)'; X_20A=data(:,1)'; xx=sort(X_20A,'descend'); Y_20A=data(:,2)'; y=sort(Y_20A); y=y(1:231); x=solve('fa*exp(fb*x)+fc*x+fd-y=0','x')%变成 x 的函数 x=solve('-614.88449*exp(-3.302*10^(-5)*x)-0.0205*x+625.4213-y=0','x') %变成 x 的函数 x=eval(x)%计算 x sum=0; 20 for i=1:1:231 k=abs(x(i)-xx(i))/x(i); sum=sum+k; end mre=sum/231 附录 5 新电池、衰减状态 1 和衰减状态 2 电压随时间变化的折线图 新电池 衰减状态 1 21 衰减状态 2 衰减状态 3 附录 6 电池衰减状态 3 的剩余放电时间的程序： clc;clear hold off data=xlsread('d:\3.xlsx'); x=data(:,1)'; y=data(:,2)'; y1=data(:,3)'; y2=data(:,4)'; y3=data(:,5)'; y3=y3(1:148); x1=x(1:148); xtihuan=x(149:301) for i=1:1:153 t=xtihuan(i); 22 yt(i)=-6.702*exp(0.6967*t)+39.67*exp(0.5261*t); end