布洛赫电子的动力学性质
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
4.8 布洛赫电子的动力学性质
布洛赫电子
• 在我们给出了电子在晶体周期势场中运动
的本征态和本征能量之后,就可以开始研
究晶体中电子运动的具体问题了,由于周
期势场的作用,晶体中的电子的本征能量
和本征函数都已不同于自由电子,因而在
外场中的行为也完全不同于自由电子,我
们称之为 布洛赫电子(Bloch 电子)。
布洛赫电子的描述
• 当外加场(电场、磁场等)施加到晶体上
时,晶体中的电子不只是感受到外场的作
用,而且还同时感受着晶体周期场的作用。
通常情况下,外场要比晶体周期势场弱得
多 。 因 为 晶 体 周 期 场 强 度 一 般 相 当 于
108V/cm。而外电场是难以达到这个强度的。
因此,晶体中的电子在外场中的运动必须
在周期场本征态的基础上进行讨论。
外场中的电子运动
•
电子在外场中的运动问题时,除了周期场中单电子哈密顿量外,还应
加入外势场
•
电子的状态和能量将随时间变化,必须求解包括外加势场在内的含时
薛定谔方程
− ℏ
������������
������������������������
������������������������ = (������������ + ������������)������������
������������ = − ℏ2
2������������ ������������2 + ������������ ������������ , ������������ ������������ + ������������ = ������������(������������)
•
处理方法
– 将波函数以系统的本征函数为基展开表示(布洛赫表象)
– 通过布洛赫函数定义一套完整的万尼尔局域函数,以它们为基展
开(万尼尔表象)
– 某些特性条件下,也可以把电子近似地作为经典粒子来处理
布洛赫电子做一个准经典近似,引入布洛赫波包。
准经典粒子近似
•
含外场的波动方程
− ℏ
������������
������������������������
������������������������ = (������������ + ������������)������������
������������ = − ℏ2
2������������ ������������2 + ������������ ������������ , ������������ ������������ + ������������ = ������������(������������)
•
通常情况下求解含外场的波动方程,但只能近似求解。
•
另一种方法是在:
外场较弱且恒定。
不考虑电子在不同能带间的跃迁。
不考虑电子的衍射、干涉及碰撞。
等条件下把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理。
这种方法图像清晰,运算简单,可以得到基本合理的结果。
经典粒子和布洛赫波包
• 经典粒子同时具有确定的能量和动量,但服从量子
力学运动规律的微观粒子是不可能有确定的能量和
动量;(不确定原理)
• 如果一个量子态的经典描述近似成立,则在量子力
学中的这个态就要用一个“波包”来代表,所谓波包
是指该粒子(例如电子)空间分布在 r0附近的△r
范围内,动量取值在ℏk0附近的范围ℏ∆k 内,∆r∆k
满足测不准关系。
• 把波包中心 r0 看作该粒子的位置,把ℏk0看作该粒
子的动量。晶体中的电子,可以用其本征函数
Bloch波组成波包,从而当作准经典粒子来处理。
布洛赫波包 (推)
•
实际晶体中的电子态往往是一些本征态的叠加,构成一个波包
•
布洛赫本征态可表示为
������������������������
������������ ������������ = ������������
������������ �������������������������−������������������������ ������������
ℏ
������������ ������������������������
������������(������������)
忽略带间跃迁,将同一能带中特定波矢k0附近Δk范围内的诸波函数叠加得到
������������������������
������������ ������������, ������������ = 1
∆������������ �
������������0−∆������������
2
������������0+∆������������
2 ������������������������
������������ ������������ ������������������������������������ ������������(������������ � ������������ − ������������������������ ������������
ℏ
������������) ������������������������
令
������������ = ������������0 + ������������������������
在k0附近将En ������������ 展开为 (P166)
������������������������ ������������ = ������������������������ ������������0 + ������������������������������������������������ ������������
������������0 � ������������������������ + ⋯
则有
������������������������
������������ ������������, ������������ ≈
������������������������0
������������ ������������
∆������������
������������������������������������ ������������ ������������0 � ������������ − ������������������������ ������������0
ℏ
������������
× �
−∆������������
2
∆������������
2 ������������������������ ������������������������� ������������− ������������������������������������������������ ������������
������������0
ℏ
������������
������������ ������������������������
布洛赫波包
•
令
������������ = ������������ − 1
ℏ
������������������������������������ ������������
������������������������������������
������������0
������������
������������ = ������������ − 1
ℏ
������������������������������������ ������������
������������������������������������
������������0
������������
������������ = ������������ − 1
ℏ
������������������������������������ ������������
������������������������������������
������������0
������������
得到(推)
������������������������
������������ ������������, ������������ ≈ ������������������������0
������������ ������������, ������������
������������������������������������ ������������������������������������������������
2
������������������������������������������������
2
�
������������������������������������ ������������������������������������������������
2
������������������������������������������������
2
�
������������������������������������ ������������������������������������������������
2
������������������������������������������������
2
= ������������������������0
������������ ������������, ������������ ������������ ������������, ������������
表示布洛赫波包,某时刻在坐标空间找到电子的概率是
������������������������
������������ ������������, ������������
2 = ������������������������0
������������ ������������
2 ������������ ������������, ������������
2
•
������������������������0
������������ ������������ 周期因子,������������ ������������, ������������ 包含能带信息。
波包
•
Δ������������ = 0:布洛赫本征态,在空间找到电子的概率为 ������������������������0
������������ ������������
2,电子的坐标完全不
确定
•
Δ ������������ ≠ 0:仅当������������, ������������, ������������ = 0时,波包振幅最大,其他������������, ������������, ������������ ≫ 0时振幅都趋近于0
•
把某时刻波包的中心位置认定为电子的坐标,即
������������ = 1
ℏ
������������������������������������ ������������
������������������������������������
������������0
������������
������������ = 1
ℏ
������������������������������������ ������������
������������������������������������
������������0
������������
������������ = 1
ℏ
������������������������������������ ������������
������������������������������������
������������0
������������
•
写成矢量
������������ = 1
ℏ ������������������������������������������������ ������������ ������������
准近似成立的条件
•
由于Bloch 波有色散,一个稳定的波包所包含的波矢范围△k应
是一个很小的量。Bloch 波有独立物理意义的波矢被限制在第
一布里渊区内,Δ������������ ≪ 2������������
������������
•
因为测不准关系(一维)
∆p������������ � ∆x = ℏ∆k������������ � ∆x ≥ ℏ
2
∴ ∆x ≫ a
•
这表明,如果波包的大小比原胞尺寸大得多,晶体中电子的运
动就可以用波包的运动规律来描述。
•
对于输运现象,只有当电子平均自由程远大于原胞尺寸的情况
下,才可以把晶体中的电子当作准经典粒子,波包移动的速度
(群速度)等于处于波包中心处粒子所具有的平均速度。
•
外场应该是时间和空间的缓变函数,外场变化的波长远大于a,
频率,hω远小于禁带宽度。
波包的速度
•
定义波包的速度
������������ ������������ = ̇������������ = 1
ℏ ������������������������������������������������ ������������
波包的速度是波矢为K,能量为En(k)的布洛赫电子的群速度
•
量子力学中,晶体中处于ψ������������0状态的电子,在经典近似下,其
平均速度相当于以 k0为中心的波包速度,而波包的传播速度是
群速度:
v������������ = ������������𝜕(k)
������������k
•
量子力学中的德布罗意关系:E = ℏ𝜕
•
所以电子的平均速度:
�v = 1
ℏ
������������𝜕(k)
������������k
������������ = 1
ℏ ������������������������������������������������ ������������ ������������
证明
•
波包的群速等于布洛赫波的平均动量除以电子的质量,即
������������ ������������ = 1
ℏ ������������������������������������ ������������
������������ = ������������
̂������������ ������������ /������������
由于布洛赫波函数满足ψk ������������ = ������������������������������������������������������������������������� ������������ ,得到
������������ ������������ = ������������������������ ������������ ������������������������
������������������������ ������������������������
=
������������������������ ℏ2
2������������
1
������������ ������������������������
2
+ ������������(������������) ������������������������
������������������������ ������������������������
=
������������������������ ℏ2
2������������
1
������������ ������������������������ + ������������
2
+ ������������(������������) ������������������������
������������������������ ������������������������
波包的速度
根据群速度的定义可以得到
������������ ������������
= 1
ℏ
�
�
������������������������ ������������������������ ℏ2
2������������
1
������������ ������������������������ + ������������
2
+ ������������(������������) ������������������������
������������������������ ������������������������
������������������������ ������������������������
2
−
������������������������ ℏ2
2������������
1
������������ ������������������������ + ������������
2
+ ������������(������������) ������������������������
������������������������ ������������������������ ������������������������
������������������������ ������������������������
2
考虑到
������������������������ ℏ2
2������������
1
������������ ������������������������ + ������������
2
+ ������������(������������) ������������������������ = ������������(������������) ������������������������ ������������������������
则
������������������������ ������������������������ ℏ2
2������������
1
������������ ������������������������ + ������������
2
+ ������������(������������) ������������������������ = ������������������������ ℏ2
2������������
1
������������ ������������������������ + ������������
������������������������ + ������������(������������)������������������������ ������������������������ ������������������������
由此证明
������������ ������������ = 1
������������
������������������������ ℏ2
2������������
1
������������ ������������������������ + ������������
������������������������
������������������������ ������������������������
= 1
������������
������������������������ ℏ
������������ ������������������������ ������������������������
������������������������ ������������������������
������������ ������������ = 1
ℏ ������������������������������������ ������������
������������
这个公式还表明:电子速度的方向为 k 空间中能量梯度的方向,即
垂直于等能面。因此,电子的运动方向决定于等能面的形状,在一
般情况下,在 k 空间中,等能面并不是球面,因此,v 的方向一般并
不是 k 的方向。下图比较准确地反映了Bloch 电子的这一特点。
波包的速度
������������ ������������ = ̇������������ = 1
ℏ ������������������������������������������������ ������������
波包的速度是波矢为K,能量为En(k)的布洛赫电子的群速度
只有当等能面为球面,或在某些特殊方向上,v 才与 k 的方向相同。电子运动速度
的大小与 k 的关系,以一维为例说明在能带底和能带顶,E(k)取极值,
d𝜕
������������������������ = 0
因此,在能带底和能带顶,电子速度v=0。
而在能带中的某处: d2������������
dk2 = 0,电子速度的数值最大,这种情况与自由电子的速度
总是随能量的增加而单调上升是完全不同的。
右图表示的更清楚,虚线表示自由电
子的速度。
E = ℏ2������������2
2������������∗ , v = ℏ
������������∗ ������������ = ck
这种变化可用NFE模型来解释:在区心
处,电子可以用平面波描写,因而速
度成线性变化,但随着k 值的增加,自
由波受晶格散射波的影响越来越大,
散射波对入射波的消弱越来越明显,
直到布里渊区边界,强的Bragg反射使
散射波和入射波相等,所以波速度为
零。这个结果和一切幅射波在有周期
性的晶体中的传播是一样的。
v = 1
ℏ
������������������������
������������������������
速度正比于能量曲线斜率
有了波包概念,可以唯象地研究布洛赫电子在外场中的运动情况!
因为:电子的准动量 ℏk,
那么:在外场中,电子所受的力为F,在dt时间内,外场对电
子所做的功为F⋅v dt
根据功能原理,有
F � vdt = dE = ������������������������������������ � dk
因为 v = 1
ℏ ������������������������������������
������������ − ℏ dk
������������������������
� v = 0
在平行于 v 的方向上,ℏdk/dt 和 F 的分量相等;当F与速度 v
垂直时,不能用功能原理来讨论电子能量状态的变化,但是
我们仍可以证明在垂直于速度的方向上,ℏdk/dt和外力F的分
量也相等。
简单推导
F = ℏ dk
������������������������
上式是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式,
因为ℏk的性质像是Bloch电子的动量,所以在这个意义上,
上式可以简单表述为:动量对时间的变化率等于力,即具有
牛顿第二定律相似的形式,称之为加速度定理,是Bloch电
子动力学方程之一。准动量不是 Bloch 电子严格意义上的动
量,严格意义上的动量的变化率等于作用在电子上面所有力
的和,而准动量的变化率只是外场力作用的结果,这里没有
包括晶格势场作用力。
在外场存在的电子动力学问题中,晶体动量比真实动量更有
用,因为在 k 空间中去领会运动要比真实空间更容易。
准动量和真实动量
对于自由电子,k = p/ℏ就是电子的动量。
ℏ
������������ ������������������������
̅������������ = ℏ
������������ ������������������������������������k�r = ℏk������������ ⃑r
对于晶体周期场中的电子用Bloch波描述,动量算符作用下:
ℏ
������������ ������������������������������������������������ = ℏ
������������ ������������ ������������������������k�r������������������������������������ ⃑r
= ℏk������������������������������������ + ������������������������k�r ℏ
������������ ������������������������������������������������ ⃑r
这表明 Bloch波不是动量算符的本征函数。在晶体周期场中,
ℏk 是动量概念的扩展,称为准动量或电子晶格动量。
ℏk是Bloch 电子准动量的另一种说明
晶体中电子运动的准经典模型为:外场用经典方式处理,
晶体周期场用能带论的处理,电子位置用 Bloch 波包的中
心位置代替。
准经典运动的基本关系式:
d⃑r
������������������������ = υ������������ ������������ = 1
ℏ ������������������������������������������������ ������������
ℏ dk
������������������������ = F = −e ������������ ⃑������������, t + ������������������������ ������������ × ������������(⃑������������, t)
相当于牛顿第二定律
晶体中电子运动的“牛顿第二定律”
有了运动定律,可以求解加速度和有效质量。
加速度和有效质量
•
将群速度的结果微分得到加速度
������������������������
������������������������ = 1
ℏ
������������
������������������������ ������������������������������������ ������������ = 1
ℏ
������������������������
������������������������ � ������������������������ ������������������������������������ ������������ =
������������ � 1
ℏ2 ������������������������ ������������������������������������ ������������
其中应用了ℏ
������������������������
������������������������ = ������������,与牛顿方程比较,可定义电子的有效质量
������������∗ −1 = 1
ℏ2 ������������������������������������������������������������ ������������
它不像通常意义上的标量,而是一个二阶张量
•
写成分量形式
1
������������∗
������������������������
= 1
ℏ2
������������2������������ ������������
������������������������������������������������������������������������
������������������������������������
������������������������ = �
������������
1
������������∗
������������������������
������������������������
由于微分可以互换,所以是对称张量。转换到主轴上去,可使之只含有对角元素
1
������������������������������������
∗
= 1
ℏ2
������������2������������
������������������������������������
2
������������������������������������
∗
������������������������������������
������������������������ = ������������������������
以简单立方晶格s电子为例
•
能谱表示为
������������������������ ������������ = ������������������������ − ������������0 − 2������������1(cos ������������������������������������ + cos ������������������������������������ + cos ������������������������������������)
有效质量
������������������������������������
∗
=
ℏ2
2������������2������������1
������������������������������������ ������������������������������������ −1
������������������������������������
∗
=
ℏ2
2������������2������������1
������������������������������������ ������������������������������������
−1
������������������������������������
∗ =
ℏ2
2������������2������������1
������������������������������������ ������������������������������������ −1
(推)
•
在能带底������������������������ = ������������������������ = ������������������������ = 0
������������������������������������
∗
= ������������������������������������
∗
= ������������������������������������
∗ =
ℏ2
2������������2������������1
是一个正标量
•
在能带顶������������������������ = ������������������������ = ������������������������ = ±
������������
������������
������������������������������������
∗
= ������������������������������������
∗
= ������������������������������������
∗ = −
ℏ2
2������������2������������1
是一个负标量
•
在鞍点������������ = ±
������������
������������ , 0,0
������������������������������������
∗
= −
ℏ2
2������������2������������1
,
������������������������������������
∗
= ������������������������������������
∗ =
ℏ2
2������������2������������1
从电子运动的基本关系式可以直接导出在外力作用下电子的
加速度。
1. 一维情况
a = dv
������������������������ = ������������
������������������������
1
ℏ � ������������������������
������������������������
= 1
ℏ
������������������������
������������������������ � ������������2������������
������������������������2 =
������������
ℏ2/(������������2������������
������������������������2)
引入电子的有效质量:
m∗ = ℏ2
������������2������������
������������������������2
由于周期场的作用,当把加速度在形式上写成仅由外力引起
的形式时,外力与加速度之间的关系显然不是由电子的惯性
质量所联系的,而必须引入一个有效质量的概念,它计入了
周期场的影响。
一维情况下在外力作用下的晶体电子运动
引入有效质量后,电场作用下的电子就像一个自由电子那样运
动,给我们处理问题带来极大方便。
F = −eε = m∗������������������������/dt
有效质量反比于能带的曲率,曲率越大,有效质量越小,反之,
有效质量越大。由于周期场中电子的能量 E(k) 与k 的函数关系
不是抛物线关系,因此,电子的有效质量不是常数,m*与 k有
关。
在能带底, E k 取极小值, ������������2������������
������������������������2 > 0 这时,m∗ > 0
在能带顶, E k 取极大值, ������������2������������
������������������������2 < 0 所以,m∗ < 0
在一个布里渊区内,电子的有效质量是变化的。
一维情况下外力作用下的电子运动
在特定情况下,当电子能量是
k 的二次函数时(比如在带
底),即:(推)
E = αk2
(������������是常数)
∵ m∗ = ℏ2
2������������
所以,我们可以把电子能量写
成和自由电子相同的形式:
E = ℏ2������������2
2������������∗
一维情况下外力作用下电子的有效质量
图给出近自由电子近似下能带结构和有效质量随 k 的变化。明显看
出带底附近 m*是大于零的常数,因为这里的能量是 k的二次函数,
但随着 k 的增大,能量波矢之间不再严格是二次函数,所以 m* 不
再是常数,而是 k 的函数,超过能量曲线拐点,m*变为负值。表明
在 k 空间的这个区域,晶格对电子产生一个很大的阻力,以致压制
住外力,并产生一个负的加速度。
一维情况下近自由电子近似有效质量
引入有效质量使我们常常可以用类似自由电子的方法处理Bloch
电子,有效质量的作用在于它概括了晶体内部周期场作用(把
这个作用用有效质量代替),使我们能够简单地由外场力确定
电子的加速度。
但必须注意到Bloch电子会表现出许多异乎寻常的性质,这些都
和自由电子是不同的,比如电子的加速度方向并不一定与外场
力的方向一致,这是由有效质量张量的性质所决定的。
电子有效质量常用电子比热数据计算得到:
�����������������������������������
������������0
= m∗
������������
其中γ0为自由电子的比热系数,γexp为实验值。
有效质量是什么?
补充:电子的运动应该同时受到晶格力 Fl和外场力F,
dv
������������������������ = 1
������������0
������������ + ������������������������
但在实际中,是Fl难以表示清楚的,因此可将公式改写为:
dv
������������������������ = 1
������������∗ F
通过引入有效质量 m* 取代真实质量 m 而将未知的晶格力的
作用考虑进来,采用有效质量后,就可以仍采用我们已经非
常熟悉的牛顿定律来描述晶体电子在外场中的行为。但由于
包含了晶格力作用的缘故,m*不同于m,因此,晶体中运动
的电子是一种“准粒子”,我们称之为Bloch电子。
有效质量的再理解
上式可以改写为:
Fdt
������������∗ = Fdt
������������0
+ F������������������������������������
������������0
显而易见,当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶
格的动量时,有效质量 m*> 0,反之,当电子从外场获
得的动量小于电子传递给晶格的动量时,m*< 0,当电
子从外场获得的动量全部传递给晶格时,m* → ∞ 。此
时电子的平均加速度为零。从上式还可以看出:电子加
速度的方向为外场力和晶格力的合力方向,并不一定和
外力方向一致。
有效质量的再理解
亦可写作:
������������∗ = m0
������������
������������ +������������������������
是存在晶场作用力的缘故,m*≠m0,如果没有晶场力,两
者相等。
有效质量m*可以比m0大,也可以比m0小,取决于晶格力的
作用,假设电子最初聚集在晶体势场的顶点附近,当有外
力时,它推动电子沿势能曲线“滚下来”,晶格力也起着
助动作用,所以 m*
版权声明
1. 本站所有素材,仅限学习交流,仅展示部分内容,如需查看完整内容,请下载原文件。
2. 会员在本站下载的所有素材,只拥有使用权,著作权归原作者所有。
3. 所有素材,未经合法授权,请勿用于商业用途,会员不得以任何形式发布、传播、复制、转售该素材,否则一律封号处理。
4. 如果素材损害你的权益请联系客服QQ:77594475 处理。