布洛赫电子的动力学性质

分类:电子电工 日期: 点击:0
布洛赫电子的动力学性质-0 布洛赫电子的动力学性质-1 布洛赫电子的动力学性质-2 布洛赫电子的动力学性质-3 布洛赫电子的动力学性质-4 布洛赫电子的动力学性质-5 布洛赫电子的动力学性质-6 布洛赫电子的动力学性质-7 布洛赫电子的动力学性质-8 布洛赫电子的动力学性质-9

4.8 布洛赫电子的动力学性质 布洛赫电子 • 在我们给出了电子在晶体周期势场中运动 的本征态和本征能量之后,就可以开始研 究晶体中电子运动的具体问题了,由于周 期势场的作用,晶体中的电子的本征能量 和本征函数都已不同于自由电子,因而在 外场中的行为也完全不同于自由电子,我 们称之为 布洛赫电子(Bloch 电子)。 布洛赫电子的描述 • 当外加场(电场、磁场等)施加到晶体上 时,晶体中的电子不只是感受到外场的作 用,而且还同时感受着晶体周期场的作用。 通常情况下,外场要比晶体周期势场弱得 多 。 因 为 晶 体 周 期 场 强 度 一 般 相 当 于 108V/cm。而外电场是难以达到这个强度的。 因此,晶体中的电子在外场中的运动必须 在周期场本征态的基础上进行讨论。 外场中的电子运动 • 电子在外场中的运动问题时,除了周期场中单电子哈密顿量外,还应 加入外势场 • 电子的状态和能量将随时间变化,必须求解包括外加势场在内的含时 薛定谔方程 − ℏ ������������ ������������������������ ������������������������ = (������������ + ������������)������������ ������������ = − ℏ2 2������������ ������������2 + ������������ ������������ , ������������ ������������ + ������������ = ������������(������������) • 处理方法 – 将波函数以系统的本征函数为基展开表示(布洛赫表象) – 通过布洛赫函数定义一套完整的万尼尔局域函数,以它们为基展 开(万尼尔表象) – 某些特性条件下,也可以把电子近似地作为经典粒子来处理 布洛赫电子做一个准经典近似,引入布洛赫波包。 准经典粒子近似 • 含外场的波动方程 − ℏ ������������ ������������������������ ������������������������ = (������������ + ������������)������������ ������������ = − ℏ2 2������������ ������������2 + ������������ ������������ , ������������ ������������ + ������������ = ������������(������������) • 通常情况下求解含外场的波动方程,但只能近似求解。 • 另一种方法是在: 外场较弱且恒定。 不考虑电子在不同能带间的跃迁。 不考虑电子的衍射、干涉及碰撞。 等条件下把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理。 这种方法图像清晰,运算简单,可以得到基本合理的结果。 经典粒子和布洛赫波包 • 经典粒子同时具有确定的能量和动量,但服从量子 力学运动规律的微观粒子是不可能有确定的能量和 动量;(不确定原理) • 如果一个量子态的经典描述近似成立,则在量子力 学中的这个态就要用一个“波包”来代表,所谓波包 是指该粒子(例如电子)空间分布在 r0附近的△r 范围内,动量取值在ℏk0附近的范围ℏ∆k 内,∆r∆k 满足测不准关系。 • 把波包中心 r0 看作该粒子的位置,把ℏk0看作该粒 子的动量。晶体中的电子,可以用其本征函数 Bloch波组成波包,从而当作准经典粒子来处理。 布洛赫波包 (推) • 实际晶体中的电子态往往是一些本征态的叠加,构成一个波包 • 布洛赫本征态可表示为 ������������������������ ������������ ������������ = ������������ ������������ �������������������������−������������������������ ������������ ℏ ������������ ������������������������ ������������(������������) 忽略带间跃迁,将同一能带中特定波矢k0附近Δk范围内的诸波函数叠加得到 ������������������������ ������������ ������������, ������������ = 1 ∆������������ � ������������0−∆������������ 2 ������������0+∆������������ 2 ������������������������ ������������ ������������ ������������������������������������ ������������(������������ � ������������ − ������������������������ ������������ ℏ ������������) ������������������������ 令 ������������ = ������������0 + ������������������������ 在k0附近将En ������������ 展开为 (P166) ������������������������ ������������ = ������������������������ ������������0 + ������������������������������������������������ ������������ ������������0 � ������������������������ + ⋯ 则有 ������������������������ ������������ ������������, ������������ ≈ ������������������������0 ������������ ������������ ∆������������ ������������������������������������ ������������ ������������0 � ������������ − ������������������������ ������������0 ℏ ������������ × � −∆������������ 2 ∆������������ 2 ������������������������ ������������������������� ������������− ������������������������������������������������ ������������ ������������0 ℏ ������������ ������������ ������������������������ 布洛赫波包 • 令 ������������ = ������������ − 1 ℏ ������������������������������������ ������������ ������������������������������������ ������������0 ������������ ������������ = ������������ − 1 ℏ ������������������������������������ ������������ ������������������������������������ ������������0 ������������ ������������ = ������������ − 1 ℏ ������������������������������������ ������������ ������������������������������������ ������������0 ������������ 得到(推) ������������������������ ������������ ������������, ������������ ≈ ������������������������0 ������������ ������������, ������������ ������������������������������������ ������������������������������������������������ 2 ������������������������������������������������ 2 � ������������������������������������ ������������������������������������������������ 2 ������������������������������������������������ 2 � ������������������������������������ ������������������������������������������������ 2 ������������������������������������������������ 2 = ������������������������0 ������������ ������������, ������������ ������������ ������������, ������������ 表示布洛赫波包,某时刻在坐标空间找到电子的概率是 ������������������������ ������������ ������������, ������������ 2 = ������������������������0 ������������ ������������ 2 ������������ ������������, ������������ 2 • ������������������������0 ������������ ������������ 周期因子,������������ ������������, ������������ 包含能带信息。 波包 • Δ������������ = 0:布洛赫本征态,在空间找到电子的概率为 ������������������������0 ������������ ������������ 2,电子的坐标完全不 确定 • Δ ������������ ≠ 0:仅当������������, ������������, ������������ = 0时,波包振幅最大,其他������������, ������������, ������������ ≫ 0时振幅都趋近于0 • 把某时刻波包的中心位置认定为电子的坐标,即 ������������ = 1 ℏ ������������������������������������ ������������ ������������������������������������ ������������0 ������������ ������������ = 1 ℏ ������������������������������������ ������������ ������������������������������������ ������������0 ������������ ������������ = 1 ℏ ������������������������������������ ������������ ������������������������������������ ������������0 ������������ • 写成矢量 ������������ = 1 ℏ ������������������������������������������������ ������������ ������������ 准近似成立的条件 • 由于Bloch 波有色散,一个稳定的波包所包含的波矢范围△k应 是一个很小的量。Bloch 波有独立物理意义的波矢被限制在第 一布里渊区内,Δ������������ ≪ 2������������ ������������ • 因为测不准关系(一维) ∆p������������ � ∆x = ℏ∆k������������ � ∆x ≥ ℏ 2 ∴ ∆x ≫ a • 这表明,如果波包的大小比原胞尺寸大得多,晶体中电子的运 动就可以用波包的运动规律来描述。 • 对于输运现象,只有当电子平均自由程远大于原胞尺寸的情况 下,才可以把晶体中的电子当作准经典粒子,波包移动的速度 (群速度)等于处于波包中心处粒子所具有的平均速度。 • 外场应该是时间和空间的缓变函数,外场变化的波长远大于a, 频率,hω远小于禁带宽度。 波包的速度 • 定义波包的速度 ������������ ������������ = ̇������������ = 1 ℏ ������������������������������������������������ ������������ 波包的速度是波矢为K,能量为En(k)的布洛赫电子的群速度 • 量子力学中,晶体中处于ψ������������0状态的电子,在经典近似下,其 平均速度相当于以 k0为中心的波包速度,而波包的传播速度是 群速度: v������������ = ������������𝜕(k) ������������k • 量子力学中的德布罗意关系:E = ℏ𝜕 • 所以电子的平均速度: �v = 1 ℏ ������������𝜕(k) ������������k ������������ = 1 ℏ ������������������������������������������������ ������������ ������������ 证明 • 波包的群速等于布洛赫波的平均动量除以电子的质量,即 ������������ ������������ = 1 ℏ ������������������������������������ ������������ ������������ = ������������ ̂������������ ������������ /������������ 由于布洛赫波函数满足ψk ������������ = ������������������������������������������������������������������������� ������������ ,得到 ������������ ������������ = ������������������������ ������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ = ������������������������ ℏ2 2������������ 1 ������������ ������������������������ 2 + ������������(������������) ������������������������ ������������������������ ������������������������ = ������������������������ ℏ2 2������������ 1 ������������ ������������������������ + ������������ 2 + ������������(������������) ������������������������ ������������������������ ������������������������ 波包的速度 根据群速度的定义可以得到 ������������ ������������ = 1 ℏ � � ������������������������ ������������������������ ℏ2 2������������ 1 ������������ ������������������������ + ������������ 2 + ������������(������������) ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ 2 − ������������������������ ℏ2 2������������ 1 ������������ ������������������������ + ������������ 2 + ������������(������������) ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ 2 考虑到 ������������������������ ℏ2 2������������ 1 ������������ ������������������������ + ������������ 2 + ������������(������������) ������������������������ = ������������(������������) ������������������������ ������������������������ 则 ������������������������ ������������������������ ℏ2 2������������ 1 ������������ ������������������������ + ������������ 2 + ������������(������������) ������������������������ = ������������������������ ℏ2 2������������ 1 ������������ ������������������������ + ������������ ������������������������ + ������������(������������)������������������������ ������������������������ ������������������������ 由此证明 ������������ ������������ = 1 ������������ ������������������������ ℏ2 2������������ 1 ������������ ������������������������ + ������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ = 1 ������������ ������������������������ ℏ ������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������ ������������ = 1 ℏ ������������������������������������ ������������ ������������ 这个公式还表明:电子速度的方向为 k 空间中能量梯度的方向,即 垂直于等能面。因此,电子的运动方向决定于等能面的形状,在一 般情况下,在 k 空间中,等能面并不是球面,因此,v 的方向一般并 不是 k 的方向。下图比较准确地反映了Bloch 电子的这一特点。 波包的速度 ������������ ������������ = ̇������������ = 1 ℏ ������������������������������������������������ ������������ 波包的速度是波矢为K,能量为En(k)的布洛赫电子的群速度 只有当等能面为球面,或在某些特殊方向上,v 才与 k 的方向相同。电子运动速度 的大小与 k 的关系,以一维为例说明在能带底和能带顶,E(k)取极值, d𝜕 ������������������������ = 0 因此,在能带底和能带顶,电子速度v=0。 而在能带中的某处: d2������������ dk2 = 0,电子速度的数值最大,这种情况与自由电子的速度 总是随能量的增加而单调上升是完全不同的。 右图表示的更清楚,虚线表示自由电 子的速度。 E = ℏ2������������2 2������������∗ , v = ℏ ������������∗ ������������ = ck 这种变化可用NFE模型来解释:在区心 处,电子可以用平面波描写,因而速 度成线性变化,但随着k 值的增加,自 由波受晶格散射波的影响越来越大, 散射波对入射波的消弱越来越明显, 直到布里渊区边界,强的Bragg反射使 散射波和入射波相等,所以波速度为 零。这个结果和一切幅射波在有周期 性的晶体中的传播是一样的。 v = 1 ℏ ������������������������ ������������������������ 速度正比于能量曲线斜率 有了波包概念,可以唯象地研究布洛赫电子在外场中的运动情况! 因为:电子的准动量 ℏk, 那么:在外场中,电子所受的力为F,在dt时间内,外场对电 子所做的功为F⋅v dt 根据功能原理,有 F � vdt = dE = ������������������������������������ � dk 因为 v = 1 ℏ ������������������������������������ ������������ − ℏ dk ������������������������ � v = 0 在平行于 v 的方向上,ℏdk/dt 和 F 的分量相等;当F与速度 v 垂直时,不能用功能原理来讨论电子能量状态的变化,但是 我们仍可以证明在垂直于速度的方向上,ℏdk/dt和外力F的分 量也相等。 简单推导 F = ℏ dk ������������������������ 上式是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式, 因为ℏk的性质像是Bloch电子的动量,所以在这个意义上, 上式可以简单表述为:动量对时间的变化率等于力,即具有 牛顿第二定律相似的形式,称之为加速度定理,是Bloch电 子动力学方程之一。准动量不是 Bloch 电子严格意义上的动 量,严格意义上的动量的变化率等于作用在电子上面所有力 的和,而准动量的变化率只是外场力作用的结果,这里没有 包括晶格势场作用力。 在外场存在的电子动力学问题中,晶体动量比真实动量更有 用,因为在 k 空间中去领会运动要比真实空间更容易。 准动量和真实动量 对于自由电子,k = p/ℏ就是电子的动量。 ℏ ������������ ������������������������ ̅������������ = ℏ ������������ ������������������������������������k�r = ℏk������������ ⃑r 对于晶体周期场中的电子用Bloch波描述,动量算符作用下: ℏ ������������ ������������������������������������������������ = ℏ ������������ ������������ ������������������������k�r������������������������������������ ⃑r = ℏk������������������������������������ + ������������������������k�r ℏ ������������ ������������������������������������������������ ⃑r 这表明 Bloch波不是动量算符的本征函数。在晶体周期场中, ℏk 是动量概念的扩展,称为准动量或电子晶格动量。 ℏk是Bloch 电子准动量的另一种说明 晶体中电子运动的准经典模型为:外场用经典方式处理, 晶体周期场用能带论的处理,电子位置用 Bloch 波包的中 心位置代替。 准经典运动的基本关系式: d⃑r ������������������������ = υ������������ ������������ = 1 ℏ ������������������������������������������������ ������������ ℏ dk ������������������������ = F = −e ������������ ⃑������������, t + ������������������������ ������������ × ������������(⃑������������, t) 相当于牛顿第二定律 晶体中电子运动的“牛顿第二定律” 有了运动定律,可以求解加速度和有效质量。 加速度和有效质量 • 将群速度的结果微分得到加速度 ������������������������ ������������������������ = 1 ℏ ������������ ������������������������ ������������������������������������ ������������ = 1 ℏ ������������������������ ������������������������ � ������������������������ ������������������������������������ ������������ = ������������ � 1 ℏ2 ������������������������ ������������������������������������ ������������ 其中应用了ℏ ������������������������ ������������������������ = ������������,与牛顿方程比较,可定义电子的有效质量 ������������∗ −1 = 1 ℏ2 ������������������������������������������������������������ ������������ 它不像通常意义上的标量,而是一个二阶张量 • 写成分量形式 1 ������������∗ ������������������������ = 1 ℏ2 ������������2������������ ������������ ������������������������������������������������������������������������ ������������������������������������ ������������������������ = � ������������ 1 ������������∗ ������������������������ ������������������������ 由于微分可以互换,所以是对称张量。转换到主轴上去,可使之只含有对角元素 1 ������������������������������������ ∗ = 1 ℏ2 ������������2������������ ������������������������������������ 2 ������������������������������������ ∗ ������������������������������������ ������������������������ = ������������������������ 以简单立方晶格s电子为例 • 能谱表示为 ������������������������ ������������ = ������������������������ − ������������0 − 2������������1(cos ������������������������������������ + cos ������������������������������������ + cos ������������������������������������) 有效质量 ������������������������������������ ∗ = ℏ2 2������������2������������1 ������������������������������������ ������������������������������������ −1 ������������������������������������ ∗ = ℏ2 2������������2������������1 ������������������������������������ ������������������������������������ −1 ������������������������������������ ∗ = ℏ2 2������������2������������1 ������������������������������������ ������������������������������������ −1 (推) • 在能带底������������������������ = ������������������������ = ������������������������ = 0 ������������������������������������ ∗ = ������������������������������������ ∗ = ������������������������������������ ∗ = ℏ2 2������������2������������1 是一个正标量 • 在能带顶������������������������ = ������������������������ = ������������������������ = ± ������������ ������������ ������������������������������������ ∗ = ������������������������������������ ∗ = ������������������������������������ ∗ = − ℏ2 2������������2������������1 是一个负标量 • 在鞍点������������ = ± ������������ ������������ , 0,0 ������������������������������������ ∗ = − ℏ2 2������������2������������1 , ������������������������������������ ∗ = ������������������������������������ ∗ = ℏ2 2������������2������������1 从电子运动的基本关系式可以直接导出在外力作用下电子的 加速度。 1. 一维情况 a = dv ������������������������ = ������������ ������������������������ 1 ℏ � ������������������������ ������������������������ = 1 ℏ ������������������������ ������������������������ � ������������2������������ ������������������������2 = ������������ ℏ2/(������������2������������ ������������������������2) 引入电子的有效质量: m∗ = ℏ2 ������������2������������ ������������������������2 由于周期场的作用,当把加速度在形式上写成仅由外力引起 的形式时,外力与加速度之间的关系显然不是由电子的惯性 质量所联系的,而必须引入一个有效质量的概念,它计入了 周期场的影响。 一维情况下在外力作用下的晶体电子运动 引入有效质量后,电场作用下的电子就像一个自由电子那样运 动,给我们处理问题带来极大方便。 F = −eε = m∗������������������������/dt 有效质量反比于能带的曲率,曲率越大,有效质量越小,反之, 有效质量越大。由于周期场中电子的能量 E(k) 与k 的函数关系 不是抛物线关系,因此,电子的有效质量不是常数,m*与 k有 关。 在能带底, E k 取极小值, ������������2������������ ������������������������2 > 0 这时,m∗ > 0 在能带顶, E k 取极大值, ������������2������������ ������������������������2 < 0 所以,m∗ < 0 在一个布里渊区内,电子的有效质量是变化的。 一维情况下外力作用下的电子运动 在特定情况下,当电子能量是 k 的二次函数时(比如在带 底),即:(推) E = αk2 (������������是常数) ∵ m∗ = ℏ2 2������������ 所以,我们可以把电子能量写 成和自由电子相同的形式: E = ℏ2������������2 2������������∗ 一维情况下外力作用下电子的有效质量 图给出近自由电子近似下能带结构和有效质量随 k 的变化。明显看 出带底附近 m*是大于零的常数,因为这里的能量是 k的二次函数, 但随着 k 的增大,能量波矢之间不再严格是二次函数,所以 m* 不 再是常数,而是 k 的函数,超过能量曲线拐点,m*变为负值。表明 在 k 空间的这个区域,晶格对电子产生一个很大的阻力,以致压制 住外力,并产生一个负的加速度。 一维情况下近自由电子近似有效质量 引入有效质量使我们常常可以用类似自由电子的方法处理Bloch 电子,有效质量的作用在于它概括了晶体内部周期场作用(把 这个作用用有效质量代替),使我们能够简单地由外场力确定 电子的加速度。 但必须注意到Bloch电子会表现出许多异乎寻常的性质,这些都 和自由电子是不同的,比如电子的加速度方向并不一定与外场 力的方向一致,这是由有效质量张量的性质所决定的。 电子有效质量常用电子比热数据计算得到: γ������������������������������������ ������������0 = m∗ ������������ 其中γ0为自由电子的比热系数,γexp为实验值。 有效质量是什么? 补充:电子的运动应该同时受到晶格力 Fl和外场力F, dv ������������������������ = 1 ������������0 ������������ + ������������������������ 但在实际中,是Fl难以表示清楚的,因此可将公式改写为: dv ������������������������ = 1 ������������∗ F 通过引入有效质量 m* 取代真实质量 m 而将未知的晶格力的 作用考虑进来,采用有效质量后,就可以仍采用我们已经非 常熟悉的牛顿定律来描述晶体电子在外场中的行为。但由于 包含了晶格力作用的缘故,m*不同于m,因此,晶体中运动 的电子是一种“准粒子”,我们称之为Bloch电子。 有效质量的再理解 上式可以改写为: Fdt ������������∗ = Fdt ������������0 + F������������������������������������ ������������0 显而易见,当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶 格的动量时,有效质量 m*> 0,反之,当电子从外场获 得的动量小于电子传递给晶格的动量时,m*< 0,当电 子从外场获得的动量全部传递给晶格时,m* → ∞ 。此 时电子的平均加速度为零。从上式还可以看出:电子加 速度的方向为外场力和晶格力的合力方向,并不一定和 外力方向一致。 有效质量的再理解 亦可写作: ������������∗ = m0 ������������ ������������ +������������������������ 是存在晶场作用力的缘故,m*≠m0,如果没有晶场力,两 者相等。 有效质量m*可以比m0大,也可以比m0小,取决于晶格力的 作用,假设电子最初聚集在晶体势场的顶点附近,当有外 力时,它推动电子沿势能曲线“滚下来”,晶格力也起着 助动作用,所以 m*m0,如果势能曲线足够陡,Fl >> F,有可能使 m*< 0 有效质量的再理解 有效质量和准动量 引入有效质量m*和晶体动量ℏk的概念,是一种理论技 巧,起码在形式上,使我们可以忽略晶格力,这是十 分有用的,因为晶格力既不能事先知道,又不能像外 力那样容易知道和控制。这对于我们处理外场作用下 的电子动力学问题带来极大方便。 自由电子 v = ℏk ������������ Bloch电子 υ������������ k = 1 ℏ ������������kE������������ k 布洛赫电子的准经典运动已经了解,可以开始探讨导电问题。 布洛赫电子准经典近似运动的基本关系式: d⃑r ������������������������ = υ������������ ������������ = 1 ℏ ������������������������������������������������ ������������ ℏ dk ������������������������ = F = −e ������������ ⃑������������, t + ������������������������ ������������ × ������������(⃑������������, t) 4.9 布洛赫电子在恒定电场中的 运动 恒定电场下的自由电子 • 恒定电场E中,电子在k空间中的准经典运动方程和解 ℏ ������������������������ ������������������������ = −������������������������, ������������ ������������ = ������������ 0 − ������������������������ ℏ ������������ 即电子波矢均以同一速率沿电场的反方向运动 • 对自由电子,波矢与能量、群速度有着简单关系 ������������ ������������ = ℏ2������������2 2������������ , ������������ ������������ = ℏ ������������ ������������ • 可以得到在恒定电场下 ������������ ������������ = ℏ ������������ ������������ 0 − ������������������������ ������������ ������������ 自由电子将被不断加速 ℏ dk ������������������������ = F = −e ������������ ⃑������������, t + ������������������������ ������������ × ������������(⃑������������, t) 恒定电场下的布洛赫电子 • 布洛赫电子������������与k的关系可以写为 (P174) ������������ ������������ ������������ = ������������ ������������ 0 − ������������������������ ℏ ������������ v是时间t的有界函数,当E平行于一个倒点阵矢量时,速度将随时间震荡 • 直流电场在布洛赫电子的准经典模型中将产生交变电流,通常称为布 洛赫振荡 振荡周期 ������������������������ = 2������������ℏ ������������������������������������ 一维情况下(振荡频率) ������������������������ = ������������������������������������/ℏ 一维紧束缚近似: εi 为某原子能级。设J1 >0,则k=0 点为能带底;k=±π/a 为能带顶。 在能带底k = 0 和能带顶k= ±π/a 处,电子速度v(k)=0;而在k= ±π/2a 处, v(k)分别为极大和极小。 ka J J k E i i cos 2 ) ( 1 0 − − = ε ka aJ dk dE k v sin 2 1 ) ( 1   = = ka J a dk E d m cos 2 1 2 2 2 2 2 *   = = 紧束缚近似下布洛赫电子在恒定电场中的运动 一维紧束缚近似下的E(k), v(k), m*随k 值的变化如上图。图中只画出 一个能带,且只是绘出第一布里渊区。从图中明显看出在带底和带顶处, 电子速度为零。中间有极大和极小值,带底处:m*>0,带顶处:m*<0, 中间处m*→±∞。 我们从该图出发讨论恒定电场作用下电子的运动。 当电子运动到布里渊区边界 处,由于 和 相差一个倒格矢 ,实际代表同一状态,所以电子从 移出等于又 从 移进来。形成循环运动。 a k π = a k π − = a k π = a π 2 a k π = a k π − = 电子在K空间做循环运动 在实空间中的运动图象 电子速度的振荡,意味着电子在实空间(坐标空间)的振荡,因为E(k) 表示的是电子在周期场中的能量本征值,当有外电场时,会附加一个静电位 能eV,使能带发生倾斜,如图所示。 ε = −∇V 电场作用下,电子在实空间的运动示意图(黄昆书p248) 电子速度的周期性振荡也就是电子在实空间中的振荡。设t = 0时电子在较 低的能带底A 点,在电场力的作用下,电子从(能带底)A→B →C(能 带顶),对应于电子从k = 0 运动到 在C 点电子遇到能隙,相当 于存在一个势垒。在准经典运动中,电子被限制在同一能带中运动,因 此电子遇到势垒后将全部被反射回来,电子从C→B →A,对应于k=–π/a 到k = 0的运动,完成一次振荡过程。 a k π = 有两点必须指出: 1. 上述的振荡现象实际上很难观察到。由于电子在运动过程中不断受到声子、 杂质和缺陷的散射,若相邻两次散射(碰撞)间的平均时间间隔为τ,如果τ 很小,电子还来不及完成一次振荡过程就已被散射。而电子完成一次振荡所 需的时间为: 为了观察到电子的振荡过程,要求τ ≈ T。在晶体中,τ~10-14 s,a ≈ 3×10-10 m, 由此可估算出若要观察到振荡现象,需加的电场ε~2×105 V/cm。对金属,无 法实现高电场;对绝缘体,将被击穿。 注:一般情况T ~ 10-5s,τ~10-14s,一个周期内 碰撞109次!?振荡现象完全被“冲掉”了 a e e a T ε π ε π   2 / / 2 = = = 空间的速度 电子在 简约区的宽度 k 晶体电子的准经典动力行为与实际不符,那怎么导电? 碰撞和弛豫 • 电子的准经典动力学给出了违背实验的结果 自由电子模型完全忽略了离子实的散射 布洛赫电子的严格周期性电子势对电子是一种相干散射 • 在实际晶体中,任何偏离周期时的机制都将散射电子 τ:弛豫时间,即电子两次碰撞之间的平均自由时间 1/τ:碰撞概率 • 碰撞使电子失去外场作用下获得的动量增量,等价于一个平均的阻力, 电子动力学唯象方程可写为 ℏ ������������ ������������������������ + 1 ������������ ������������������������ = ������������ ℏ ������������ ������������������������ ������������������������:自由粒子加速项, ℏ������������������������ ������������ :碰撞效应 碰撞和弛豫 • 对自由电子气模型������������������������������������ = ℏ������������������������,运动方程为 ������������ ������������ ������������������������ + 1 ������������ ������������������������ = ������������ vd:漂移速度,电子在外场和碰撞作用下的平均速度 • 在恒定电场的定态情况,dvd/������������������������ = 0, ������������ = −������������������������,因此 ������������������������ = − ������������������������������������ ������������ 电流密度 ������������ = −������������������������������������������������ = ������������������������2������������ ������������ ������������ 由欧姆定律������������ = ������������������������得到电导率 ������������ = ������������������������2������������ ������������ 那么从能带论如何解释导电? 导体、绝缘体和半导体的能带论解释 一.满带电子不导电 二.未满带电子导电 三.近满带和空穴导电 四.导体、绝缘体和半导体 虽然所有固体都含有大量电子,但却有导体和绝缘体之分,这一基 本事实曾长期得不到严格解释,能带论首次从理论上做了严格说明,是 能带论发展初期的重大成就,也由此开辟了金属电导、绝缘体和半导体 的现代理论。 有电场存在时,由于不同材料中电子在能带中的填充情况不同,对电场 的响应也不同,导电能力也各不相同。我们分三种情况讨论(针对价电子形 成的价带而言): 满带:电子已填满了能带中所有的能态。 导带:一个能带中只有部分能态填有电子,而其余的能态为没有电子填充的空态。 近满带:一个能带的绝大部分能态已填有电子,只有少数能态是空的。 能带中每个电子对电流的贡献-ev(k),因此带中所有电子的贡献为: 求和包括能带中所有被占据态。 ������������������������������������������������ = � ������������ −������������������������(������������) 满带电子不导电 • 由于固体电子能带具有对称性 ������������������������ ������������ = ������������������������(−������������) 并根据������������ ������������ = 1 ℏ ������������������������������������ ������������ ������������ ������������ = −������������(−������������) • 一个能带对电流的贡献应该是所有电子携带电流的总和 ������������������������������������������������ = � ������������ −������������������������(������������) 对于一个完全填满电子的能带,k态电子和-k态电子必然同时存在,即 ������������������������������������������������ ≡ 0 • 外加电场时电子的状态在k空间均以相同的速率移动,由于 ������������������������ ������������ = ������������������������(������������ + Kℎ) 并不改变均匀填充各k状态的情况,因此 ������������������������������������������������ ≡ 0 当存在外加电场时,由于满带中所有能态均已被电子填满,外电 场并不改变电子在满带中的对称分布,所以不产生宏观电流,I=0。 从速度公式 ,我们可以得到一个重要结果:一个完全充满电 子的能带不能形成电流。根据公式可知: v (−k ) = −v (k ) (见右下图) 这可以从能量对称关系中给出。 E (k) = E (-k) 能带中所有电子产生的总电流密度是: 由于上面的关系,求和为零。 所以满带不能形成电流。 简易说明: E k v ∇ =  1 ∑ − = k k v e V J ) ( ) ( 1 满带到未满带 未满带电子导电——导带: 下图所示部分填充的能带和满带不同,在外电场作用下,可以 产生电流。 不存在电场时,由于电子在能带中的对称填充,非满带也不存 在宏观电流。 当存在电场时,由于导带中还有部分没有电子填充的空态,因而导带中的 电子在外场的作用下会产生能级跃迁,从而使导带中的对称分布被破坏, 产生宏观电流,I≠0。 未满带到近满带 空穴 • 设满带中少了一个k态电子 ������������ ������������ = � ������������′≠������������������������ −������������������������(������������′) 如果在该能带中放入一个k态电子 � ������������′≠������������������������ −������������������������(������������′) + −������������������������(������������������������) = 0 即 ������������ ������������ = ������������������������(������������������������) 近满带的电流就如同一个带有正电荷e的粒子所产生的 空穴:具有缺少的k态电子相同的速度,并带有相反正电荷e的假想粒子 缺少了少数电子的近满带的性质可由少数空穴去代替 空穴的性质 • kℎ = −������������������������ 如果满带中逸失了一个波矢为ke的电子,定义系统中剩下电子的总波矢为kh,则 kℎ = � ������������′≠������������������������ ������������������������′ = � ������������������������′ ������������������������′ − ������������������������ = −������������������������ • Eℎ ������������ℎ = −E������������(������������������������) 空穴的能量是从满带中逸失一个电子系统能量的变化,因此 Eℎ ������������ℎ = � ������������′≠������������������������ ������������������������ ������������������������′ − � ������������������������′ ������������������������(������������������������′) = � ������������′≠������������������������ ������������������������ ������������������������′ − � ������������′≠������������������������ ������������������������ ������������������������′ + −E������������ ������������������������ = −E������������(������������������������) 逸失电子在带内位置越低,需要更多的功,系统能带越高 空穴的性质 • vℎ ������������ℎ = v������������(������������������������) 即空穴的速度等于逸失电子的速度 • mℎ ∗ = −m������������∗ 由于有效质量反比于 d2������������ ������������ ������������������������2 ,对空穴这个值和价带中的电子所具有的符号 相反 • 在外加电磁场中空穴的准经典动力学方程 ℏ dkℎ ������������������������ = ������������(������������ + ������������ℎ × ������������) 是带正电荷的粒子的运动方程 空穴是一个带有正电荷,具有正有效质量的准粒子。它是在整个能 带的基础上提出来的,它代表的是近满带中所有电子的集体行为,因此, 空穴不能脱离晶体而单独存在,它只是一种准粒子。 两种载流子导电行为 空穴导电性:满带中缺少一些电子所产生的导电性; 电子导电性:导带底有少量电子所产生的导电性。 引入空穴概念后,在金属自由电子论中所无法解释的某些金属(如 Be,Zn,Cd)正Hall系数问题,就很容易解释了。在金属中参与导电的 载流子既可以是电子,也可以是空穴。 引入空穴概念的必要性的进一步说明: 满带中缺了少数电子就会有一定的导电性,这种近满带的情形在半 导体中特别重要,要描述近满带中电子的运动,由于涉及到数目很大的 电子的集体运动,因而在表述上十分不便,为此,引入空穴的概念,将 大量电子的集体运动等价地变为少数空穴的运动,从而大大简化了有关 近满带的问题,使满带顶附近缺乏一些电子的问题与导带底有少数电子 的问题十分相似。 还应特别强调:我们虽然赋予空穴有质量、电荷等属性,但它不是 实物粒子,而只是实物粒子——电子集体运动的一种等价描述,就像声 子一样,也是一种”准粒子”或说”元激发” 导体、绝缘体和半导体的能带 电子刚好填满能量最低的一系列能带,而能量再高的 各能带都是没有电子填充的空带。 电子除填满能量最低的一系列能带外,在满带和空带 间还有部分填充的导带。 其禁带宽度一般较窄。 常规半导体:如Si:Eg ~1.1eV; Ge: Eg ~ 0.7 eV;GaAs: Eg ~ 1.5 eV 宽带隙半导体:如β-SiC: Eg ~ 2.3 eV; 4H-SiC: Eg~3 eV 禁带宽度一般都较宽, Eg >几个eV。 如α-Al2O3: Eg~8 eV;NaCl: Eg~6 eV。 P178 非导体: 导 体: 半导体: 绝缘体: 晶体电子外场中的运动(推演) • 量子力学中,任何不显含时间的力学量A的平均值随时间的变化由下列Ehrenfest关 系给出 ������������ ������������ ������������������������ = ������������ ℏ [������������, ������������] • 在一维情况下,对一个布洛赫波函数有 ������������ ������������ ������������������������ ������������ = ������������������������������������������������������������������������ ������������ • 在均匀外力作用下,系统哈密顿量可写为 ������������ = ������������0 − ������������������������ H0是没有外力作用是系统的哈密顿量,因此有 H0, T = 0,eika是算符T的本征值,k 是一个常量。在外力作用下 ������������, ������������ = ������������������������������������ 得到 ������������ ������������ ������������������������ = ������������ ℏ (������������������������) ������������ 晶体电子外场中的运动(推演) • 因而有 ������������ ∗ ������������ ������������ ������������������������ = ������������������������������������ ℏ ������������ 2 ������������ ������������ ������������ ∗ ������������������������ = − ������������������������������������ ℏ ������������ 2 两式相加得到 ������������ ������������ 2 ������������������������ = 0 是复平面内的一个圆的方程,实轴和虚轴的分量分别为平移算符本征值的实 部和虚部 • 如果ψk满足周期性边界条件,那么在外力作用下,⟨T⟩将沿着复平面内的 单位圆运动。因此⟨T⟩可写为 T = eik t a,这样 ������������������������������������������������ ������������ ������������������������ = ������������������������������������ ℏ 或者 ℏ ������������������������(������������) ������������������������ = ℏ ̇������������(������������) = ������������

标签:

版权声明

1. 本站所有素材,仅限学习交流,仅展示部分内容,如需查看完整内容,请下载原文件。
2. 会员在本站下载的所有素材,只拥有使用权,著作权归原作者所有。
3. 所有素材,未经合法授权,请勿用于商业用途,会员不得以任何形式发布、传播、复制、转售该素材,否则一律封号处理。
4. 如果素材损害你的权益请联系客服QQ:77594475 处理。